(۲۱-۵)
روش ساده دیگری که توسط ژانگ و همکاران^[۱۵۸] در سال ۲۰۰۳ به کار گرفته شده به تبدیل مساله به یک مدل چند هدفه با چهار تابع هدف می باشد. اگر ضرایب فازی به شکل اعداد فازی ذوزنقه ای نمایش داده شوند، اهداف مدل کمکی حاصل برای حل مساله بتوسط کاربرد مقادیر حدی اعداد فازی بدست می آید. برای مثال مساله ساده زیر را در نظر بگیرید:

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

(۲۲-۵)
مدل کمکی برای تبدیل این مساله به یک مدل ریاضی چند هدفه معمولی به شکل زیر پیشنهاد شده است:
(۲۳-۵)
نویسندگان بیان می دارند که جواب بهینه حاصل از حل مساله چند هدفه کمکی بالا جوابی بهینه برای مساله فازی خطی اولیه می باشد.
۴-۲-۵-مسائل فازی نوع چهارم
مسائل فازی به فرم زیر را می توان در این دسته در نظر گرفت:
(۲۴-۵)
برخی نویسندگان با بهره گرفتن از برش های α و کاربرد برنامه ریزی بازه ای به حل این مساله پرداخته اند. مسائل ترکیباتی زیادی وجود دارند که حداقل ترکیب دونوع از مدلهای فازی اشاره شده در فوق می باشد و محققین با بهره گرفتن از روش های نوآورانه به حل آنها پرداخته اند. برای مروری بر این مسائل ترکیباتی می توانید به بایکاسوگلو و گوکن مراجعه نمائید.
۳-۵-برنامه ریزی فازی چند هدفه
از فواید مهم برنامه ریزی چند هدفه فازی نسبت به روش های غیر فازی ،علاوه بر توانایی رفع و رجوع پارامترهای فازی، قابلیت اندازه گیری صریح میزان برآورده شدن هر تابع هدف می باشد.این ویژگی می تواند به تصمیم گیرنده در گرفتن تصمیم نهایی بوسیله انتخاب یک جواب موثر با توجه به درجه مطلوبیت و اهمیت نسبی هر تابع هدف کمک نماید. همانطور که بیان شد، زیمرمن اولین روش فازی به نام روش max-min را برای حل یک مدل MOLP استفاده نمود.اما جواب حاصل از این روش با وجود سازگار بودن اولا غیرجبرانی بوده و ثانیا ممکن است موثر نباشد .
در حقیقت اپراتور های گوناگونی برای انبوهش مجموعه های فازی وجود دارند. به برخی از معروف ترین آنها در قالب تی نرم ها برای اشتراک مجموعه های فازی اشاره شد. زیمرمن مهمترین عامل در انتخاب اپراتور مناسب را جبرانیی بودن معرفی می نماید. در ادامه تعریف اپراتور جبرانی بیان می گردد(تیریاکی^[۱۵۹]،۲۰۰۶).
تعریف- اگر تابع عضویت مجموعه فازی انبوهش شده برابر باشد با
آنگاه  جبرانی است اگر با تغییر  بتوانیم  را بتوسط تغییری در  بدست آویم.
مثال: اپراتور min یک اپراتور غیر جبرانی می باشد زیرا اگر داشته باشیم  و  آنگاه انبوهش ایندو بتوسط اپراتور min برابر می شود با  .
حال اگر تغییر  را اعمال نمائیم هیچ مقدار  یافت نمی شود که نتیجه انبوهش آن با  بتوسط اپراتور min برابر با ۰٫۵ بشود. اما در مقابل واضح است که مثلا اپراتور ضرب جبری یک عملگر جبرانی می باشد. جبرانی بودن به این معنی است که نتایج حاصل از اپراتور min نشان دهنده بدترین حالت هستند و نمی توان این نتیجه را با استناد به دیگر اعضا حتی اگر خیلی خوب باشند جبران نمود. در مقابل اپراتور min اپراتور max وجود دارد که کاملا جبرانی می باشد ولی این اپراتور نیز این مشکل را بوجود میاورد که تنها یک عضو از مجموعه می تواند نامناسب بودن تمامی اعضای دیگر را بپوشاند.
سطوح تمایل به کار رفته در مدل زیمرمن برای بدست آوردن توابع عضویت سطح ارضای محدودیت ها  بیشتر به شکل ذهنی و بسته به نظر طراح مدل و تصمیم گیرنده محاسبه می شود. زیمرمن بیان می دارد که تابع عضویت ارضای محدودیت ها ( شامل توابع هدف که در مدل متقارن در آن ادغام شده اند) می بایست صفر باشد اگر محدودیت ها کاملا نقض شوند، و باید برابر یک باشند اگر کاملا ارضا گردند و اینکه  می بایست بین صفر تا یک با یک ریتم ثابت افزایش یابد. تابع زیر پیشنهاد گردیده است.
(۲۵-۵)
ها به طور ذهنی توسط تصمیم گیرنده انتخاب می شود و بار دیگر تاکید می کنیم که در این برنامه ریزی خاص  شامل هم محدودیت ها و هم توابع هدف می شود که در برنامه ریزی متقارن هردو به یک چشم نگریسته می شوند.
زیمرمن و زیسنو^[۱۶۰] (۱۹۸۰) نشان دادند که اغلب تصمیماتی که در دنیای واقعی گرفته می شوند نه کاملا غیر سازگار هستند و نه کاملا سازگار. نتیجتا این اپراتورها نمی توانند برای مسائل واقعی کاملا مناسب باشند. برای حل این مشکل ایشان یک دسته اپراتور سازگار وابسته به پارامتر جبرانی γ پیشنهاد دادند که به شکل زیر می باشد.
(۲۶-۵)
ایشان نشان دادند که این اپراتور جدید در تصمیم گیری های انسان از اپراتورهای min، ضرب جبری و max بهتر می باشد.اما این اپراتور یک عملگر غیرخطی بوده و حجم محاسبات را افزایش می دهد.
یک اپراتور جبرانی که حجم محاسباتی کمتری را می طلبد توسط لوهانجولا^[۱۶۱](۱۹۸۲) پیشنهاد شد که به فرم زیر می باشد
(۲۷-۵)
این اپراتور که به نام جمع کران دار معروف می باشد از نظر محاسباتی به صرفه تر از اپراتور ارائه شده توسط زیمرمن و زینسو می باشد ولی جواب هایی که تولید می کند لزوما موثر نیستند.
ورنر^[۱۶۲](۱۹۸۸) اپراتور ” و فازی” و اپراتور ” یا فازی” را ارائه نمود که بر مبنای اپراتورهای وابسته به γ می باشند و ترکیب محدب اپراتور min و میانگین عددی و همچنین max و میانگین عددی می باشند.
(۲۸-۵)
(۲۹-۵)
بیت و همکاران^[۱۶۳] (۱۹۹۳) به توسعه مدل زیمرمن پرداخته و حالتی را در
نظر گرفتند که توابع هدف دارای اهمیت نسبی و یا اولویت متفاوتی با یکدیگر می باشند.اولویت اهداف نشان دهنده حالتی است که اهداف به ترتیب اهمیتشان مرتب گشته و بدون در نظر گرفتن هدف با اولویت بالاتر نمی توان هدف بعدی را وارد فرایند بهینه سازی نمود. حالت موزون برای موقعیت در نظر گرفته شده که اهداف اولویت یکسانی دارند اما تصمیم گیرنده اهمیت نسبی متفاوتی برای آنها قائل گردیده است. مدل ارائه شده توسط ایشان برای حالت وزین به شکل مجموع موزون توابع عضویت  و برای حالت دارای اولویت به شکل لکسیکوگراف به بهینه سازی نوبتی توابع هدف با بهره گرفتن از مدل مجموع ساده  می پردازد. با این که مدل مجموع موزون جبرانی می باشد اما مشکل آن این است که به تولید پاسخ هایی غیر متعادل می انجامد یعنی ممکن است یکی از اهداف نتیجه بسیار بدی داشته باشد و دیگری نتیجه بسیار خوب که در عمل تصمیم گیرندگان یک حداقل رضایت مندی از یک تابع هدف را در نظر دارند در غیر این صورت وارد کردن آن به مساله امری غیر ضروری بوده است.
لی و لی^[۱۶۴] (۱۹۹۳) یک رویکرد دو مرحله ای برای حل مشکل بالا ارائه نمود. در حقیقت، فاز اول آن از روش زیمرمن استفاده می نماید. اگر جواب ممکن یکتا باشد آنگاه این جواب جواب موثر است. در غیر این صورت ، در فاز دوم، یک برنامه ریزی جدید با بهره گرفتن از اپراتور میانگین صورت می گیرد تا تمامی توابع عضویت را با توجه محدودیت هایشان بیشینه سازد. مسلما جواب حاصل از فاز دوم به دلیل کاربرد اپراتور جبرانی میانگین یک جواب موثر تولید می کند اما با اضافه کردن این فاز به مساله حجم محاسبات افزایش می یابد.
لای و هوانگ(۱۹۹۶) یک اپراتور جبرانی که اصلاح شده اپراتور ترکیب خطی Min و Max ارائه شده توسط زیمرمن و زیسنو است را ارائه نمودند که به شکل زیر می باشد که به آن اپراتور max-min اصلاح شده می گویند:
(۳۰-۵)
که در آن پارامتر دلتا یک عدد به قدر کافی کوچک و وزن هایw اهمیت نسبی هر تابع هدف را نشان می دهد. این اوزان شرط  را باید ارضا بنمایند. به دلیل کاربرد اپراتور min این مدل دیگر مشکل مدل ارائه شده توسط بیت و همکاران را ندارد و مدل به بیشینه سازی حداقل ارضای توابع هدف می پردازد و بطور ضمنی از نامتعادل بودن پاسخ حاصله جلوگیری به عمل می آید.
وو و گو^[۱۶۵](۲۰۰۱) یک مدل دو فاز دیگر برای مسائل بهینه سازی چند هدفه فازی ارائه دادند که جوابی موثر بین اپراتور غیرجبرانی min و جبرانی میانگین حاصل می نماید. مدل سازگار ارائه شده توسط ایشان به قرار زیر می باشد .
(۳۱-۵)
که در آن  که عددی بین صفر و یک است کمترین درجه ارضای تابع هدف k ام می باشد و توسط تصمیم گیرنده انتخاب می شود.افزایش کمترین درجه ارضای یک تابع هدف بدین معنی است که این تابع هدف به مقدار بهینه نزدیک تر می باشد، در مقابل، این امر موجب می شود دیگر توابع هدف از مقدار بهینه شان دورتر شوند. در نتیجه برای اینکه یک جواب شدنی داشته باشیم می بایست این مقادیر با دقت بالا انتخاب شود در غیراین صورت به جوابی نمی رسیم.
پاسخ بهینه بدست آمده توسط اپراتور max-min زیمرمن ممکن است کارا نباشد. از طرف دیگر اگر  در روش سازگار ارائه شده توسط وو گو اشتباه انتخاب شود، فرایند تعامل را بسیار پیچیده تر می نماید. از این رو، لی و لی (۲۰۰۶) در یک روش دو مرحله ای، کمترین درجه ارضای اهداف از روش سازگار را برابر را پاسخی که از رویکرد max-min زیمرمن قرار می دهند و علاوه بر اینکه حجم محاسبات رویکرد سازگار را کاهش می دهند، اشکال روش زیمرمن که ممکن بود پاسخ ها موثر نباشند نیز رفع و رجوع می گردد.
تیریاکی(۲۰۰۶) برای مسائل خطی چند سطحی روشی جبرانی و تعاملی ارائه می دهد. نویسنده برای هر هدف وزنی در نظر گرفته و نهایتا مساله را به گونه ای مدل می کند که سطح رضایت تمامی اهداف متناسب با وزن خود آن هدف باشد. از اپراتور “و فازی” ارائه شده توسط ورنر در این رویکرد استفاده گردیده است. نویسنده روش های زیر را برای وارد کردن وزن ها در فرایند بهینه سازی ارائه داده و کارآمدی آنها را اثبات می نماید.
روش اصلاح شده ترکیب محدب اپراتور min و max ارائه شده توسط زیمرمن.
(۳۲-۵)
روش اصلاح شده ترکیب min و max ارائه شده توسط لای و هوانگ .
(۳۳-۵)
روش ترکیباتی اپراتورهای ورنر و لای-هوانگ
(۳۴-۵)
امید و همکاران (۲۰۰۷) از اپراتور مجموع موزون که در آن علاوه بر درجه ارضای اهداف، درجه ارضای محدودیت ها نیز لحاظ شده است برای حل مساله انتخاب تامین کنندگان استفاده نموده اند. ایشان از ایده ای همانند مدل اولیه زیمرمن استفاده نموده اند که در آن درجه ارضای محدودیت ها بتوسط در نظر گرفتن مقادیر سمت راست فازی ( اعداد فازی خطی) محاسبه می گردد و برای توابع هدف نیز از سطوح تمایلی که با کاربرد جواب های ایده آل مثبت و منفی هر هدف به دست آمده اند استفاده شده است. مدل در نظر گرفته نویسندگان به شکل زیر می باشد:
(۳۵-۵)
که در آن شرط  برقرار می باشد.
سلیم و اوزکاراهان(۲۰۰۷) یک روش اصلاح شده از روش ورنر ارائه دادند. مدل ارائه شده توسط این محققین به قرار زیر می باشد.