تغییر مکان پی در سطح آزاد از قرار دادن z=0 در رابطه ‏ی (۳-۶۲) به‏دست می‏آید:

در رابطه‏ی بالا مقدار به ازای j=0 برابر یک و به ازای j≥۱ برابر مقدار زیر خواهد بود:

ثابت echo نام‏دارد، معکوس جمع عبارتی که سختی استاتیکی لایه‏ی نرمالیزه شده به‏وسیله‏ی سختی استاتیکی نیم‏فضای همگن با خصوصیات مصالح لایه به‏دست می‏دهد.
برای محاسبه‏ی سختی دینامیکی لازم است رابطه‏ی نیرو-تغییرمکان مطابق زیر برای دیسک مستقر بر لایه‏ی قرار گرفته بر بستر صلب نوشته شود:

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

نهایتا با جایگذاری رابطه‏ی در رابطه‏ی (۳-۸۸) امپدانس دینامیکی که معرف سختی دینامیکی است برای دیسک واقع بر لایه‏ی قرار گرفته بر بستر صلب به‏دست می‏آید:

از آن‏جا که دامنه‏ی تغییرمکان موج‏ها بعد از تعداد محدودی برخورد با مرز صلب به صفر میل می‏کند، از لحاظ عددی j در یک مقدار مثل۰۱/۰ پایان می‏یابد [۳].
پی سطحی واقع بر نیم فضای چندلایه
یکی از مسائل مهم در مهندسی لایه‏ای بودن محیط خاکی است که اغلب به خاطر پیچیدگی‏هایی که دارد محققین از پرداختن به این موضوع خودداری کرده و با بهره گرفتن از تقریب و ساده‏سازی، مسئله‏ی لایه‏ای بودن محیط خاکی را به وسیله‏ی روش‏هایی همچون میانگین‏گیری، به محیط خاک تک‏لایه تبدیل می‏کنند. با توجه به خصوصیات امواج که در مرز ناپیوستگی دچار انعکاس و انکسار می‏شوند، مسئله‏ی لایه‏ای بودن خاک به وسیله‏ی روش مخروط حل شده است.
مطابق شکل ۳-۱۵ امواج انعکاس‏یافته و انکسار‏یافته‏ی تولید‏ شده در مرز مشترک دو لایه به عنوان امواج برخوردی مرحله‏ی بعد با ناپیوستگی‏های مصالح مواجه خواهند شد که به انعکاس‏ها و انکسار‏های اضافی منجر می‏شود. با دنبال نمودن انعکاس‏ها و انکسار‏های متوالی، الگوی موج بر‏هم نهی شده را می‏توان برای یک ساختگاه چند لایه تا یک مرحله‏ی معین تشکیل داد [۲۸].
شکل ‏۳‑۱۲: نمایش الگوی انکسار و انعکاس موج در مرز ناپیوستگی ها [۲۸]
اگرچه می‏توان پاسخ‏هایی به شکل بسته را برای مسائل ساده معین به دست آورد اما یک نیم‏فضا با دو لایه یا بیش‏تر توالی پیچیده‏ای از انکسار‏ها و انعکاس‏ها را به وجود می‏آورد که پردازش آن‏ها به صورت دستی غیرممکن می‏شود. استفاده از یک برنامه‏ی کامپیوتری مانند MATLAB، بررسی سریع و آسان این توالی را امکان‏پذیر می‏سازد. وظیفه‏ی برنامه‏ی کامپیوتری قرار دادن یک نیروی تحریک متناوب روی دیسک، دنبال کردن تمامی امواج انعکاس‏یافته و انکسار‏یافته تا یک مرحله‏ی معین (مرحله‏ای که فرا‏تر از آن تاثیر انعکاس‏ها و انکسار‏های اضافی قابل صرف‏نظر کردن است) و پس از آن تعیین دامنه‏ی تغییرمکان برآیند دیسک است. سپس سختی دینامیکی دیسک را می‏توان از تقسیم دامنه‏ی نیروی اعمال‏شده بر دامنه‏ی تغییرمکان به‏دست آورد.