fnk2−nk1(fnk1(x)) = fnk2(x) ∈ U.
بهعبارت معادل ∅ ̸=f^nk2−^nk1(U) ∩ U . و این ثابت م کند که (y ∈ Ω(f.

٢.١ سیستمهای کمین

در این بخش به بررس مجموعه های کمین و ارتباط آنها با مجموعه هایω -حدی م پردازیم.
تعریف ١.٢.١. ن اشت پیوستهیf : X → X را کمین گوییم، اگر برای هرX = O⁺(x,f) ،x ∈ X .

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

قضیه ١.٢.٢. فرض کنید ن اشتf _: X → X ی ن اشت پیوسته روی فضای متریX باشد. آن اه موارد زیرهم ارز م باشند
ن اشتf کمین است.
تنها زیر مجموعه های بسته و پیشرو پایای تحتf ، عبارت ازX و ∅ هستند.
برای هر زیر مجموعهی باز و غیر ته ازX مانندU داریم 
برهان. ٢( ⇒ ١): فرض کنیدE ی زیرمجموعهی ناته ، پیشرو پایا و بسته درX باشد، هن ام که ∅ ≠E بسته
و پایا است پس یx ∈ E وجود دارد بهطوریکهX = O⁺(x,f) ⊆ E . و در نتیجهX = E .
٣( ⇒ ٢): فرض کنیدU مجموعهی باز دلخواه درX باشد، مجموعهی بستهیE را بهصورت زیر تعریفم کنیم
.
اگر ∅ ₌E باشد، آن اه  و مسأله حل شده است.
فرض کنید ∅ ≠E باشد، کافیست ثابت کنیم کهE تحتf پیشرو پایا م باشد. داریم
چون ∅ ≠U بود، پسE ≠ X . از طرف ∅ ≠X ̸= E که این با فرض (٢) در تناقض است. پسE نم تواندمخالف ته باشد.
١( ⇒ ٣): فرض کنیدx ∈ X عضو دلخواه باشد. م خواهیم ثابت کنیم که (.X = O⁺(x,f همچنینفرض کنیدU ی مجموعهی باز درX باشد. برای اینکه ب وییم ₍O⁺_(x,f درX چ ال است، کافیست ثابتکنیم که ت رار مثبت از نقطهیx تحتf درU قرار دارد.
بنا به فرض (٣) داریمi=∪^۰ fⁱ(U) = X ^پس (n ∈ ZN s.t. x ∈ fⁿ(U∃^. بهطور معادل ∈ (f−ⁿ(x
−∞

1. 1. U. و این برهان قسمت (١) را کامل م کند.

١.٣. دینامی نمادین
نتیجه ١.٢.٣. اگرf _: X → X ۰پیوسته و روی مجموعهی فشردهX کمین باشد آن اه برای مجموعهی بازU در
X عددn_U ∈ N وجود دارد بهطوریکهi=∪nU fⁱ(U) = X ^.
−
برهان. بنا به قضیه ٢.٢.١، چونf کمین است پس برای مجموعه بازU داریم.  از طرف چونX فشرده است و  ی پوشش بازی برای مجموعهX م باشد پس دارای ی زیرپوشش متناه است.
لذا م توانیم، توانهایn₁,…,−n_k − را چنان بیابیم که
X = f−ⁿ¹(U) ∪ … ∪ f−^nk(U).
اکنون کافیست در نظر ب یریم {n_U = max{n_i : ۱ ≤ i ≤ k. بنابراین
.
لم ١.٢.۴. فرض کنیدf _: X → X ی ن اشت کمین روی مجموعه فشردهX باشد. دراینصورت برای هرx ∈ X، داریمω(x,f) = X .
برهان. چونf کمین و ₍ω_(x,f ی مجموعه بسته و تحتf پایاست، بنابراین طبق قضیه ٢.٢.١ باید ∅ ₌₍ω_(x,f
یاω(x,f) = X از طرف چونX فشرده است پس ∅ ≠ (ω(x,f در نتیجهω(x,f) = X .
لم ١.٢.۵. فرض کنیدf _: X → X ی ن اشت کمین روی مجموعه فشردهX باشد اگر برای هرx ∈ X داشته
باشیمω(x,f) = X ، آن اهf کمین است.
برهان. فرض کنیدA ⊂ X ، ی مجموعه ناته ، بسته و تحتf پایا باشد. چون ∅ ≠A ، بنابراین وجود دارد
یy ∈ A کهO⁺(y,f) ⊆ A از طرف چونA بسته است داریمω(y,f) ⊆ O⁺(y,f) ⊆ A ، بنا به فرض داریم
ω(y,f) = X، پسX ⊆ A . بهعبارت معادل،X = A . و این ثابت م کند کهf کمین است.

٣.١ دینامی نمادین

در این بخش ضمن معرف فضای دنبالهها، تعاریف و قضایای پیرامون آنها را شرح خواهیم داد.
تعریف ١.٣.١. مجموعهی {A_m = {۱_,۲,…,m را در نظر م گیریم. مجموعه همه دنباله های دوطرفه و دنباله های
ی طرفه با درایههای واقع در مجموعهیA_m را بهترتیب، باΣ_m = {۱,۲,…,m}^Z وΣ⁺_m = {۱,۲,…,m}^N نمایش م دهیم. که در آنm ی عدد طبیع و بزرگتر از ١ است. بهعبارت دی ر هر عضوω ∈ Σ⁺_m)ω ∈ Σ_m )را م توان بهعنوان ی تابع ازZ بهA_m (یا تابع ازN بهA_m )در نظر گرفت.
همچنین هر عضوω ∈ Σ⁺_m)ω ∈ Σ_m ) را بهصورتω = (ω_i)_i∈Z یاω = (ω_i)_i∈N نمایش م دهیم.
١۴
تعریف ١.٣.٢. اعضای مجموعهیA_m را الفبا م نامیم و هر دنبالهی متناه از اعضایA_m را کلمه م گوییم.اگرω ی دنباله ی طرفه یا دوطرفه باشد وl ⩽ k ، آن اه کلمهیω_l,ω_l+1,…,ω_k را قطعهای ازω م نامیم و با
نماد [ω[l,k نمایش م دهیم.
تعریف ١.٣.٣. مترd را رویΣ_m وΣ⁺_m بهصورت زیر تعریف م کنیم
d : Σ_m × Σ_m → R, بهطوریکه
d(ω,ω′) = ۲−^l , l = min{ | i |: ω_i ̸= ω_i^′}.
تبصره ١.٣.۴. فضاهای ((Σ_m,d و ((Σ⁺_m,d، دو فضای متری م باشند.