چون برای هر داریم ، و همچنین با توجه به ریخت همانی

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

داریم:
همچنین برای و داریم:
به طوری‌که
بنابراین یک تابعگون همورد می‌باشد.■
تعریف ۲-۳۰٫ زیررسته
فرض کنیمو رسته باشند. یک زیررسته از است اگر
۱-هر شیءیک شیء از باشد، یعنی.
۲- برای هر داریم.
۳- ترکیب ریخت‌ها در همانند ترکیب ریخت‌ها در باشد.
۴- برای هر همانی در ، همان همانی در می‌باشد.
تعریف ۲-۳۱٫ زیررسته‌ی کامل
اگر برای هر، زیر رسته‌ی ? از ?، یک زیر رسته‌ی کامل نامیده می‌شود.
تعریف ۲-۳۲٫ زیر رسته ی عریض
اگر، زیر رسته‌ی از، یک زیر رسته‌ی عریض نامیده می شود.
مثال ۲-۳۳٫ برای هر رسته‌ی می‌توانیم یک زیر رسته‌ی کامل از بدست آوریم، به این ترتیب کهرا می‌توانیم هر کلاس از اشیاء قرار دهیم و برای هر ، تعریف کنیم.
تعریف ۲-۳۴٫ زیرگروه‌وار از دیدگاه رسته
فرض کنیدیک گروه‌وار باشد. یک زیرگروه‌وار از یک زیررسته‌ی از است به طوری‌که اگر، آن‌گاه ، یعنی یک زیررسته است به طوری‌که یک گروه‌وار نیز باشد.
نکته ۲-۳۵٫ تعریف ۲-۳۵، با تعریف ۲-۲۰، از زیر گروه‌وار معادل است.
برهان. به‌سادگی دیده می‌شود که شرایط در هر دو یکسان تعریف شده است.
تعریف ۲-۳۷٫ زیرگروه‌وار کامل
اگر یک زیررسته‌ی کامل از باشد، آن‌گاه یک زیرگروه‌وار کامل از است.
تعریف ۲-۳۸٫ زیرگروه‌وار عریض
اگر یک زیررسته‌ی عریض از باشد، آن‌گاه یک زیرگروه‌وار عریض از است.
نکته ۲-۳۹٫ یک گروه‌وار با تنها یک شیء، یک گروه نامیده می‌شود. مانند که یک گروه شی‌ای نامیده می‌شود.
تعریف ۲-۴۰٫ گروه‌وار توپولوژیکی
یک گروه‌وار توپولوژیکی، یک گروه‌وار است به طوری‌که مجموعه‌های و فضاهای توپولوژیکی باشند ونگاشت‌های منبع، هدف، شیء، معکوس و ترکیب پیوسته باشند.
تعریف ۲-۴۱٫ ریخت بین گروه‌وارهای توپولوژیکی
فرض کنید و دو گروه‌وار توپولوژیکی باشند. یک ریخت از گروه‌وارهای توپولوژیکی، یک جفت از نگاشت‌های و است به طوری‌که و پیوسته باشند.
تعریف ۲-۴۲٫ فرض کنیم ، اگر یکریخت پوششی باشد، آن‌گاه یک تابع بالابرنده‌ی داریم که به جفت در عنصر یکتای از را نشان می‌دهد به طوری‌که .
از طرفی وارونمی‌باشد.
گزاره ۲-۴۳٫ تعریف بالا بیانگر این است که یک ریخت پوششی است اگروفقط اگر دوسویی باشد.
برهان.یک ریخت پوششی است، پس دوسویی می‌باشد یعنی برای هر ، داریم و عنصری در می‌باشد. بنابراینو این معادل است با تعریف نگاشت ، به این‌صورت که هر را بهو ببریم و چون یک ریخت است، داریم:
بنابراین ، پس نگاشت خوش‌تعریف می‌باشد.■
تعریف ۲-۴۴٫ ریخت پوششی توپولوژیکی
یک ریخت از گروه‌وارهای توپولوژیکی، یک ریخت پوششی توپولوژیکی نامیده می‌شود اگر و فقط اگرهمئومورفیسم باشد.
مثال ۲-۴۵٫ اگر و دو گروه‌وار توپولوژیکی باشند، نشان می‌دهیم نیز یک گروه‌وار توپولوژیکی است.
در مثال ۲-۹، نشان دادیم که یک گروه‌وار است. از طرفی چون و گروه‌وارهای توپولوژیکی هستند، پس نگاشت‌های منبع، هدف، شیء، معکوس و ترکیب در هر دو پیوسته می‌باشند. بنابراین طبق تعریف، نگاشت‌های گروه‌واری نیز پیوسته می‌باشند.
اکنون با قرار دادن توپولوژی حاصل‌ضربی دو گروه‌وار توپولوژیکیو ، روی گروه‌وار ، به یک گروه‌وار توپولوژیکی تبدیل می شود.
گزاره ۲-۴۶٫ فرض کنید نمودار جابه‌جایی زیر یک نمودار از ریخت‌های گروه‌وارهای توپولوژیکی باشد به طوری‌که یک ریخت پوششی توپولوژیکی است.یک ریخت پوششی توپولوژیکی است اگر و فقط اگر یک ریخت پوششی توپولوژیکی باشد.
نمودار۳٫
برهان. فرض کنیدوریخت‌های پوششی توپولوژیکی از گروه‌وارها باشند. براساس نمودار زیر، برای هر ، را به‌صورت تعریف می‌کنیم.
نمودار۴.
چون و همئومورفیسم هستند و ترکیب دو نگاشت همئومورفیسم، همئومورفیسم می‌باشد، پس نیز همئومورفیسم است. بنابراین یک ریخت پوششی توپولوژیکی از گروه‌وارها می‌باشد.
بالعکس فرض کنید و دو ریخت پوششی توپولوژیکی باشند. طبق حالت قبل داریم . چون همئومورفیسم است، پس نیز همئومورفیسم می‌باشد. بنابراین برای هر ، را به‌صورت تعریف می‌کنیم. چون
و همئومورفیسم هستند، نیز همئومورفیسم می‌باشد. بنابراین یک ریخت پوششی توپولوژیکی از گروه‌وارها می‌باشد.■